4.5_同态、陪集与正规子群_习题1.ZH

1内容

因此 $H$ 再次包含一个3-循环。最后，如果 $H$ 包含一个5-循环 $(a, b, c, d, e)$，令 $\sigma=(a, b)(c, d) \in A_{5}$。那么

因此 $(a, b, c, d, e) \cdot(b, a, d, c, e) \in H$。但是 $(a, b, c, d, e) \cdot(b, a, d, c, e)=(a, e, c) \in H$，所以 $H$ 再次包含一个3-循环。因此在所有情况下 $H$ 都包含一个3-循环，因此 $H=A_{5}$。

现在我们完成 $A_{n}$ 的单性的证明。证明采用对 $n$ 的归纳法，从 $n=5$ 的情况开始，这正是前一个引理的陈述。归纳假设 $n \geq 6$，并且我们已经证明 $A_{n-1}$ 是单群，设 $H \triangleleft A_{n}$ 且 $H \neq\{1\}$。回想一下，我们有 $S_{n}$ 中的子群 $H_{n}$ 定义为

那么 $H_{n} \cong S_{n-1}$ 且 $H_{n} \cap A_{n} \cong A_{n-1}$，因此也是单群。如果我们能证明 $H \cap\left(H_{n} \cap A_{n}\right) \neq\{1\}$，那么 $H \cap\left(H_{n} \cap A_{n}\right)$ 是 $H_{n} \cap A_{n}$ 的非平凡正规子群，因此它就是整个 $H_{n} \cap A_{n}$。特别是，$H$ 必须包含一个3-循环，因此 $H=A_{n}$。

由于 $H \subseteq A_{n}, H \cap\left(H_{n} \cap A_{n}\right)=H \cap H_{n}$，因此只需证明这个子群不等于 $\{1\}$，即存在一个 $\sigma \in H$ 且 $\sigma \neq 1$ 并且 $\sigma(n)=n$。因为根据假设 $H \neq\{1\}$，存在一个 $\sigma \in H$ 且 $\sigma \neq 1$。如果 $\sigma(n)=n$，我们就完成了：$\sigma \in H \cap H_{n}$。否则 $\sigma(n)=i$ 且 $i \neq n$。

首先假设 $\sigma(i)=j$ 且 $j \neq n$ (注意 $\sigma(i) \neq i$ 因为 $\sigma(n)=i$)。因此当我们把 $\sigma$ 写成不相交循环的乘积时，其中一个循环看起来像 $(n, i, j, \ldots)$。选择某个 $k \neq n, i, j$。元素 $(j, k)$ 是奇置换，但是由于 $n \geq 6$，存在 $a, b \in\{1,2, \ldots, n\}$ 且 $a, b$ 是互不相等的元素，不等于 $n, i, j, k$，并且 $\rho=(j, k)(a, b)$ 是偶置换。那么 $\rho \cdot \sigma \cdot \rho^{-1} \in H$，因为 $H$ 是正规子群，因此 $\tau=\sigma^{-1} \cdot \rho \cdot \sigma \cdot \rho^{-1} \in H$，因为 $H$ 对求逆和乘积封闭。现在根据构造 $\rho(n)=n$，因此

因此 $\tau \in H \cap H_{n}$。最后，我们声称 $\tau \neq 1$。要看到这一点，注意

我们不可能有 $\sigma^{-1}(k)=i$，因为否则 $\sigma(i)=k$，但也有 $\sigma(i)=j \neq k$，这是不可能的。因此 $\tau(i) \neq i$，所以 $\tau \neq 1$。

剩下的一种情况是 $\sigma(n)=i$ 且 $i \neq n$，并且 $\sigma(i)=n$。这种情况在本质上与前一种情况类似。由于 $\sigma$ 是偶置换，$\sigma \neq(n, i)$，因此存在一个 $j \neq n, i$ 使得 $\sigma(j)=k \neq n, i$。(可以想象将 $\sigma$ 写成长度至少为二的不相交循环的乘积：其中一个看起来像 $(n, i)$，并且必须有另一个以 $(j, k, \ldots)$ 开头。)再次使用 $n \geq 6$，存在 $\ell, m$ 是互不相等的，并且不等于 $n, i, j, k$ 中的任何一个。令 $\rho=(j, \ell, m)$。那么 $\rho \in A_{n}$，因为 $\rho$ 是一个3-循环，并且，设 $\tau=\sigma^{-1} \cdot \rho \cdot \sigma \cdot \rho^{-1}$，$\tau \in H$ 如前所述。但是

第一个方程说明 $\tau \in H \cap H_{n}$，第二个方程说明 $\tau(\ell)=j \neq \ell$，因此 $\tau \neq 1$。因此在这两种情况下 $H \cap H_{n} \neq\{1\}$，我们完成了证明。

1习题

习题 4.1. (i) 设 $f: \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{Q}$ 定义为 $f(r)=r / 2=\left(\frac{1}{2}\right) r$。$f$ 是同态吗？为什么是或不是？$f$ 是单射吗？满射吗？

(ii) 设 $g: \mathbb{Q}^{*} \rightarrow \mathbb{Q}^{*}$ 定义为 $g(r)=r / 2=\left(\frac{1}{2}\right) r$。$g$ 是同态吗？为什么是或不是？$g$ 是单射吗？满射吗？

习题 4.2. 解释为什么以下函数 $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ 不是同态：(i) $f(x)=|x|$；(ii) 如果 $x \neq 0$, $f(x)=1 / x$, 且 $f(0)=0$；(iii) $f(x)=[x]$, 其中 $[x] \in \mathbb{Z}$ 是不大于 $x$ 的最大整数。如果我们将 $\mathbb{R}$ (在定义域和值域中) 替换为 $\mathbb{R}^{*}$，(i) 和 (ii) 会发生什么？

习题 4.3. 设 $f: G_{1} \rightarrow G_{2}$ 是一个同态。证明对于所有 $g \in G_{1}$ 和 $n \in \mathbb{Z}$，$f\left(g^{n}\right)=(f(g))^{n}$。$f(g)$ 的阶是否一定等于 $f$ 的阶？如果不是，通常你能说什么？

习题 4.4. 设 $f_{1}: G_{1} \rightarrow G_{2}$ 和 $f_{2}: G_{2} \rightarrow G_{3}$ 是同态。证明 $f_{2} \circ f_{1}: G_{1} \rightarrow G_{3}$ 是同态。

习题 4.5. (i) 设 $f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ 是一个同态。证明存在一个 (唯一的) $k \in \mathbb{Z}$ 使得对于所有 $a \in \mathbb{Z}$，$f(a)=k a$。$f$ 何时是单射？满射？$f$ 的像通常是什么？

(ii) 设 $f: \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{Q}$ 是一个同态。证明存在一个 (唯一的) $r \in \mathbb{Q}$ 使得对于所有 $a \in \mathbb{Q}$，$f(a)=r a$。(给定 $f$，令 $r=f(1)$。首先证明对于所有 $n \in \mathbb{Z}$，$f(n)=r n$，然后证明对于所有整数 $p, q$ (例如 $q>0$) 对，$f(p / q)=r(p / q)$。) 反之，给定 $r \in \mathbb{Q}$，函数 $f(a)=r a$ 定义了一个同态 $f: \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{Q}$。$f$ 何时是单射？满射？

(iii) 给定 $r \in \mathbb{R}$，证明函数 $f(a)=r a$ 定义了一个同态 $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$。$f$ 何时是单射？满射？(然而，在这种情况下，可以证明从 $\mathbb{R}$ 到自身存在更多的同态，但它们不能被明确地描述出来。)

习题 4.6. 设 $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C}^{*}$ 是由 $f(\theta)=e^{i \theta}=\cos \theta+i \sin \theta$ 定义的函数。证明 $f$ 是一个同态并描述其核和像。

习题 4.7. 设 $f: \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \rightarrow G$ 是一个同态 (其中 $G$ 中的群运算写成乘法)。设 $g_{1}=f(1,0)$ 且 $g_{2}=f(0,1)$。证明 $g_{1} g_{2}=g_{2} g_{1}$，即 $g_{1}$ 和 $g_{2}$ 可交换，并且对于所有 $(n, m) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$，

反之，假设 $G$ 是一个群，并且 $g_{1}, g_{2} \in G$ 是两个可交换的元素。证明由 $f(n, m)=g_{1}^{n} g_{2}^{m}$ 定义的函数 $f: \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \rightarrow G$ 是一个同态。因此，上述描述了从 $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ 到任意群 $G$ 的所有同态。

习题 4.8. 证明如果 $f: \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ 是一个同态，那么存在唯一的整数 $a, b \in \mathbb{Z}$ 使得对于所有 $(n, m) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$，$f(n, m)=a n+b m$。反之，证明给定 $a, b \in \mathbb{Z}$，函数 $f(n, m)=a n+b m$ 是从 $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ 到 $\mathbb{Z}$ 的同态。(使用习题 4.7。) 如何从对 $f$ 的了解中恢复 $a$ 和 $b$？证明 $f$ 是满射当且仅当 $a$ 和 $b$ 互素。通过在 $\operatorname{Ker} f$ 中找到一个非零元素来证明 $f$ 从来不是单射。

习题 4.9. 设 $G$ 是一个群，并定义函数 $F: G \rightarrow S_{G}$ 为 $F(g)=r_{g}$，其中 $r_{g}: G \rightarrow G$ 是双射

$F$ 是同态吗？为什么是或不是？解释如何修改 $F$ 以得到一个涉及右乘法的同态 $G \rightarrow S_{G}$。

习题 4.10. 设 $n \in \mathbb{N}$ 且 $a \in \mathbb{Z}$，并设 $d=\operatorname{gcd}(a, n)$。考虑由 $f(k)=a k$ 定义的同态 $f: \mathbb{Z} / n \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z} / n \mathbb{Z}$。我们知道 $\operatorname{Im} f$ 和 $\operatorname{Ker} f$ 是 $\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}$ 的循环子群。使用之前的结果证明 $\operatorname{Im} f=\langle d\rangle$ 且 $\operatorname{Ker} f=\langle n / d\rangle$。

习题 4.11. 考虑由以下定义的 $\mathbb{R}^{\mathbb{R}}$ 的子集 $G$

(1) 对于 $f(x)=a x+b$，通过考虑 $f(0)$ 和 $f(1)$，证明 $a$ 和 $b$ 由函数 $f$ 确定。我们也用 $a x+b$ 表示由 $f(x)=a x+b$ 定义的函数 $f$。

(2) 证明 $G$ 在函数复合下是封闭的，方法是找到 $f \circ g$ 的公式，其中 $f(x)=a x+b$ 且 $g(x)=c x+d$。证明 $\mathrm{Id} \in G$，并且如果 $f \in G$，那么逆函数 $f^{-1}$ 存在且 $f^{-1} \in G$。得出结论 $G \leq S_{\mathbb{R}}$，即从 $\mathbb{R}$ 到自身的所有双射的群 (运算是函数复合)。

(3) 使用 (a) 中的计算，证明由 $F_{1}(a x+b)=a$ 定义的函数 $F_{1}: G \rightarrow \mathbb{R}^{*}$ 是一个同态。$\operatorname{Ker} F_{1}$ 和 $\operatorname{Im} F_{1}$ 是什么？再次使用 (a) 中的计算，证明由 $F_{2}(a x+b)=b$ 定义的函数 $F_{2}: G \rightarrow \mathbb{R}$ 不是同态。

习题 4.12. 考虑习题 2.29 中定义的 $G L_{2}(\mathbb{R})$ 的子群 $\mathbf{B}$

(1) 定义函数 $F_{1}: \mathbf{B} \rightarrow \mathbb{R}^{*} \times \mathbb{R}^{*}$ 为：$F_{1}\left(\left(\begin{array}{ll}a & b \\ 0 & d\end{array}\right)\right)=(a, d)$。证明 $F_{1}$ 是同态。$F_{1}$ 的核是什么？$F_{1}$ 的像是什么？

(2) 定义函数 $F_{2}: \mathbf{B} \rightarrow \mathbb{R}$ 为：$F_{2}\left(\left(\begin{array}{ll}a & b \\ 0 & d\end{array}\right)\right)=b$。证明 $F_{2}$ 不是同态。

习题 4.13. (i) 设 $f_{1}: G \rightarrow G^{\prime}$ 和 $f_{2}: G \rightarrow G^{\prime}$ 是两个同态。证明由

定义的 $G$ 的子集 $H$ 是 $G$ 的子群。

(ii) 设 $f_{1}: G \rightarrow G^{\prime}$ 和 $f_{2}: G \rightarrow G^{\prime}$ 是 (i) 中的两个同态。假设 $G$ 由元素 $g_{1}, \ldots, g_{r} \in G$ 生成，并且对于每个 $i$ ( $1 \leq i \leq r$)，$f_{1}\left(g_{i}\right)=f_{2}\left(g_{i}\right)$。证明 $f_{1}=f_{2}$。

习题 4.14. (i) 计算 $5^{143}$ 除以 29 的余数。

(ii) 证明对于每个整数 $a$ 使得 $\operatorname{gcd}(a, 100)=1$，有 $a^{20} \equiv 1(\bmod 100)$，并用此计算 $(17)^{122}$ 的最后两位数。(提示：证明 $(\mathbb{Z} / 100 \mathbb{Z})^{*}$ 的每个元素的阶都整除 20。注意 $\phi(100)=40$，因此这改进了欧拉推广。)

习题 4.15. 设 $G$ 是一个群 (不一定是有限的)，设 $H_{1}$ 和 $H_{2}$ 是 $G$ 的两个有限子群，并假设 $\#\left(H_{1}\right)=n_{1}$ 且 $\#\left(H_{2}\right)=n_{2}$ 且 $\operatorname{gcd}\left(n_{1}, n_{2}\right)=1$。证明 $H_{1} \cap H_{2}= \{1\}$。

习题 4.16. 设 $G$ 是一个阶为 $p^{n}$ 的群，其中 $p$ 是素数且 $n \geq 1$。证明 $G$ 包含一个阶为 $p$ 的元素。(首先证明 $G$ 的每个元素的阶都是 $p^{k}$，其中 $k \leq n$。)

习题 4.17. 设 $G$ 是一个群，设 $H$ 是 $G$ 的子群，不一定是正规子群。证明 $g_{1} \equiv_{\ell} g_{2} \bmod H \Longleftrightarrow g_{1}^{-1} \equiv_{r} g_{2}^{-1} \bmod H$。得出结论函数 $f: G / H \rightarrow H \backslash G$ 由 $f(g H)=H g^{-1}$ 定义是良定义的，即不依赖于 $g H$ 的代表元的选择。通过找到一个逆函数来证明 $f$ 定义了从 $G / H$ 到 $H \backslash G$ 的双射。(注意：然而，由 $F(g H)=H g$ 定义的“函数” $F: G / H \rightarrow H \backslash G$ 是良定义的当且仅当 $H$ 是正规子群。)

习题 4.18. 设 $G$ 是一个有限群，阶为 $n$，使得对于每个整除 $n$ 的 $d$，至多存在一个阶为 $d$ 的 $G$ 的子群。证明 $G$ 是循环群。(提示：定义函数 $\psi(d)$ 如定理 2.2.10 的证明中所示，并证明对于所有 $d \mid n$，$\psi(d) \leq \phi(d)$。)

习题 4.19. 计算矩阵乘积

用此证明 $O_{2}$ 和 $S O_{2}$ 不是 $G L_{2}(\mathbb{R})$ 的正规子群。